Ο Νοργκάι γεννήθηκε το 1914 στο χωριό Τάμε στην περιοχή Έβερεστ του Νεπάλ. Ο πατέρας του, Γκιάλζεν, ήταν επίσης ορειβάτης Σέρπα που είχε κάνει αρκετές απόπειρες στο Έβερεστ. Ο Νοργκάι μεγάλωσε ακούγοντας ιστορίες για τις αναρριχήσεις του πατέρα του και ονειρευόταν να ακολουθήσει τα βήματά του.
Το 1934, ο Νοργκάι εντάχθηκε σε μια βρετανική αποστολή στο Έβερεστ ως αχθοφόρος σε μεγάλο υψόμετρο. Αυτή ήταν η πρώτη του ευκαιρία να σκαρφαλώσει στο βουνό και έφτασε σε απόσταση 1.000 ποδιών από την κορυφή πριν τον γυρίσει πίσω από την κακοκαιρία.
Ο Νοργκάι επιχείρησε ξανά το Έβερεστ το 1936 και το 1938, αλλά και οι δύο απόπειρες ήταν ανεπιτυχείς. Τελικά κατάφερε να φτάσει στην κορυφή το 1953, μαζί με τον Έντμουντ Χίλαρι.
Η επιτυχημένη ανάβαση του Νοργκάι στο Έβερεστ ήταν ένα σημαντικό ορόσημο στην ιστορία της ορειβασίας. Έγινε το πρώτο άτομο από το Νεπάλ που έφτασε στην κορυφή και εξακολουθεί να θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους ορειβάτες όλων των εποχών. Του απονεμήθηκε το μετάλλιο George από τη βρετανική κυβέρνηση για το επίτευγμά του και έγινε Ιππότης Διοικητής του Τάγματος της Βρετανικής Αυτοκρατορίας το 1959.
Η ανησυχία του Νοργκάι για το κύρος του Έβερεστ πιθανότατα οφειλόταν στο γεγονός ότι ήταν το υψηλότερο βουνό στον κόσμο και σημαντικό σύμβολο της εθνικής ταυτότητας του Νεπάλ. Ήθελε να είναι το πρώτο άτομο από το Νεπάλ που θα φτάσει στην κορυφή και ήταν περήφανος για το επίτευγμά του. Γνώριζε επίσης ότι η επιτυχία του θα προσέφερε κύρος στο Νεπάλ και θα βοηθούσε στην προώθηση του τουρισμού στη χώρα.
