Ένα σκάφος που κατευθύνεται βόρεια διασχίζει ένα ευρύ ποτάμι με ταχύτητα 10 χλμ. ώρα σε σχέση με το νερό και έχει 5 χλμ. ώρα προς ανατολάς ποια είναι η ταχύτητα σε σχέση με τον σταθερό παρατηρητή εδάφους;

Η ταχύτητα του σκάφους σε σχέση με τον ακίνητο παρατηρητή εδάφους μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τη διανυσματική πρόσθεση. Μπορούμε να αναπαραστήσουμε την ταχύτητα του σκάφους σε σχέση με το νερό ως διάνυσμα \(\overrightarrow{v_b}\) μεγέθους 10 km/hr υπό γωνία 0° (αφού το σκάφος κατευθύνεται βόρεια). Η ταχύτητα του νερού σε σχέση με το έδαφος μπορεί να αναπαρασταθεί ως διάνυσμα \(\overright arrow{v_w}\) μεγέθους 5 km/h υπό γωνία 90° (καθώς το νερό ρέει ανατολικά).

Για να βρούμε την ταχύτητα του σκάφους σε σχέση με το έδαφος, προσθέτουμε τα δύο διανύσματα:

$$\overrightarrow{v} =\overrightarrow{v_b} + \overrightarrow{v_w}$$

Χρησιμοποιώντας το νόμο των συνημιτόνων, μπορούμε να βρούμε το μέγεθος του διανύσματος που προκύπτει:

$$v =\sqrt{v_b^2 + v_w^2 + 2v_bv_w\cos\theta}$$

όπου \(\theta\) είναι η γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων. Αντικαθιστώντας τις δεδομένες τιμές, παίρνουμε:

$$v =\sqrt{10^2 + 5^2 + 2(10)(5)\cos90°}$$

$$v =\sqrt{100 + 25 + 0}$$

$$v =\sqrt{125}$$

$$v =11,18 \text{ km/hr}$$

Για να βρούμε τη γωνία του διανύσματος που προκύπτει, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων:

$$\sin\theta =\frac{v_w\sin\theta}{v}$$

Αντικαθιστώντας τις δεδομένες τιμές, παίρνουμε:

$$\sin\theta =\frac{5\sin90°}{11.18}$$

$$\sin\theta =\frac{5}{11.18}$$

$$\theta =\sin^{-1}\left(\frac{5}{11.18}\right)$$

$$\θήτα =26,57°$$

Επομένως, η ταχύτητα του σκάφους σε σχέση με τον ακίνητο παρατηρητή εδάφους είναι 11,18 km/h υπό γωνία 26,57° βόρεια της ανατολής.